En faisant des calculs , il m'est parfois arrivé de trouver des résultats curieux .
En voici un
En divisant 49 par 81 , on obtient 0,60493827160...
En divisant 50 par 81 , on obtient 0,6172839406 ...
Ces deux quotients sont symétriques .
Accessoirement , concernant le quotient de 49 par 81 on remarquera qu'il est formé de tranches soustractives de raison 11
60-11=49 49-11=38 etc, etc .
C'est tout pour aujourd'hui .
mardi 10 août 2010
jeudi 5 août 2010
Quelques propriétés curieuses des périodes
Ecrivons une suite multiplicative de raison 2
2x1=2 ; 2x 2=4 ; 2x4=8 ....._
124863759875136250... ( cette suite est cyclique )
Cette suite de 18 termes est symétrique de la période de 19 . ( Cf page précédente ) .
Cette suite possède toutes les propriétés de la période de 19 et , donc , de toutes les périodes des nombres premiers normaux .
Autre propriété , l'addition
Ajoutons les deux premiers termes de cette suite 1+2=3
On observe que cette somme se trouve dans la suite ( en quatorzième position ) .
Si je poursuis ce processus en ajoutant le deuxième terme avec le troisième puis le troisième avec le quatrième ... etc etc , j'obtiens 6 puis 2 ...et la suite elle-même .
124863749875136250...
On peut recommencer le calcul en prenant les nombre séparés par un terme , c'est à dire en sautant un terme : 1+4=5 ; 2+8=10 ( on ne garde que les unités , donc 0 ) ; 4+6=10 ( plus la retenue , donc 11 ) etc...etc ...
124863749875136250...
On peut sauter deux termes ... 1+8=9 ; 2+6=8 ... Ces résultats se retrouvent encore dans la suite .
124863759875136250
Ces calculs sont récurrents .
Propriété de la multiplication .
Prenons arbitrairement un multiplicateur ; le 3 par exemple .
Multiplions donc chaque terme de la suite par 3 et les résultats se retrouvent dans la suite .
124863759875136250
2x1=2 ; 2x 2=4 ; 2x4=8 ....._
124863759875136250... ( cette suite est cyclique )
Cette suite de 18 termes est symétrique de la période de 19 . ( Cf page précédente ) .
Cette suite possède toutes les propriétés de la période de 19 et , donc , de toutes les périodes des nombres premiers normaux .
Autre propriété , l'addition
Ajoutons les deux premiers termes de cette suite 1+2=3
On observe que cette somme se trouve dans la suite ( en quatorzième position ) .
Si je poursuis ce processus en ajoutant le deuxième terme avec le troisième puis le troisième avec le quatrième ... etc etc , j'obtiens 6 puis 2 ...et la suite elle-même .
124863749875136250...
On peut recommencer le calcul en prenant les nombre séparés par un terme , c'est à dire en sautant un terme : 1+4=5 ; 2+8=10 ( on ne garde que les unités , donc 0 ) ; 4+6=10 ( plus la retenue , donc 11 ) etc...etc ...
124863749875136250...
On peut sauter deux termes ... 1+8=9 ; 2+6=8 ... Ces résultats se retrouvent encore dans la suite .
124863759875136250
Ces calculs sont récurrents .
Propriété de la multiplication .
Prenons arbitrairement un multiplicateur ; le 3 par exemple .
Multiplions donc chaque terme de la suite par 3 et les résultats se retrouvent dans la suite .
124863759875136250
mardi 3 août 2010
Les périodes et leurs propriétés
Je ne parlerai ici que des périodes des nombres premiers "normaux" .
Comme nous l'avons vu à la page précédente , au nombre premier 7 est associée la période 142857
La première remarque c'est que le nombre de termes de la période est égale à N-1
Ici , N=7 et la période contient 6 termes .
Pour N=19 la période contient 18 termes .
Une période peut donc , étant toujours paire , être scindée en deux parties 142 et 857
On remarque que chaque terme d'une partie additionnée au terme correspondant de l'autre partie donne 9 pour résultat .
Il suffit donc de connaitre la première partie d'une période pour déduire la seconde .
Par exemple si je fais la division 10:19 j'obtiens le quotient 0, 526315789
Le nombre 19 étant un nombre premier " normal " sa période possède 19-1 =18 termes .
Si j'en possède la moitié (9) je peux en déduire l'autre moitié . Au premier terme connu , j'associe son complément à 9 , c'est à dire 4 et ainsi de suite . J'obtiens alors la période complète
526315789473684210
Ces périodes peuvent être calculées par un autre moyen .
Si on observe la période de 19 ( ci-dessus ) de droite à gauche , on remarque qu'on obtient le terme suivant en multipliant le terme précédent par 2 . ( Il faut tenir compte des retenues , ce qui ne pose pas de véritable problème )
On dira que 2 est le générateur de la période du nombre 19
A chaque nombre premier " normal est associé " un générateur . Par exemple , pour 7 , c'est 5
2 est associé à 19 avec la formule suivante G= (N+1):10
( G pour générateur et N pour nombre premier )
C'est vrai pour tous les nombres premiers terminés par 9
Dans les autres cas , on multiplie le nombre premier jusqu'à qu'il se termine par 9
Pour 7 , il faut multiplier par 7 . On obtient 49 .
On applique la formule G= (49+1)/10 = 5
Nous verrons à la page suivante d'autres propriétés des périodes .
Comme nous l'avons vu à la page précédente , au nombre premier 7 est associée la période 142857
La première remarque c'est que le nombre de termes de la période est égale à N-1
Ici , N=7 et la période contient 6 termes .
Pour N=19 la période contient 18 termes .
Une période peut donc , étant toujours paire , être scindée en deux parties 142 et 857
On remarque que chaque terme d'une partie additionnée au terme correspondant de l'autre partie donne 9 pour résultat .
Il suffit donc de connaitre la première partie d'une période pour déduire la seconde .
Par exemple si je fais la division 10:19 j'obtiens le quotient 0, 526315789
Le nombre 19 étant un nombre premier " normal " sa période possède 19-1 =18 termes .
Si j'en possède la moitié (9) je peux en déduire l'autre moitié . Au premier terme connu , j'associe son complément à 9 , c'est à dire 4 et ainsi de suite . J'obtiens alors la période complète
526315789473684210
Ces périodes peuvent être calculées par un autre moyen .
Si on observe la période de 19 ( ci-dessus ) de droite à gauche , on remarque qu'on obtient le terme suivant en multipliant le terme précédent par 2 . ( Il faut tenir compte des retenues , ce qui ne pose pas de véritable problème )
On dira que 2 est le générateur de la période du nombre 19
A chaque nombre premier " normal est associé " un générateur . Par exemple , pour 7 , c'est 5
2 est associé à 19 avec la formule suivante G= (N+1):10
( G pour générateur et N pour nombre premier )
C'est vrai pour tous les nombres premiers terminés par 9
Dans les autres cas , on multiplie le nombre premier jusqu'à qu'il se termine par 9
Pour 7 , il faut multiplier par 7 . On obtient 49 .
On applique la formule G= (49+1)/10 = 5
Nous verrons à la page suivante d'autres propriétés des périodes .
vendredi 23 juillet 2010
jeudi 22 juillet 2010
Les deux familles
Comme chacun sait , un nombre est dit " premier " si il n'est divisible que par 1 et par lui-même .
On remarque qu'une division par un nombre premier engendre un résultat périodique .
Par exemple si on divise 10 par 7 on obtient 1,42857142857...
La partie " 142857 " est récurrente .
Si on effectue une autre division par 7 , on retombera sur cette même période .
Le nombre 7 est donc un nombre premier " régulier " ,c'est à dire qu'à ce nombre n'est associée qu'une unique période .
Les nombres 17 -19-23-29 ... sont des nombres premiers réguliers .
Le nombre 13 , par exemple , génère deux périodes ; je le classe donc parmi les nombres premiers irréguliers .
A terminer
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On remarque qu'une division par un nombre premier engendre un résultat périodique .
Par exemple si on divise 10 par 7 on obtient 1,42857142857...
La partie " 142857 " est récurrente .
Si on effectue une autre division par 7 , on retombera sur cette même période .
Le nombre 7 est donc un nombre premier " régulier " ,c'est à dire qu'à ce nombre n'est associée qu'une unique période .
Les nombres 17 -19-23-29 ... sont des nombres premiers réguliers .
Le nombre 13 , par exemple , génère deux périodes ; je le classe donc parmi les nombres premiers irréguliers .
A terminer
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Préambule
J'aime l'arithmétique depuis toujours et je crois qu'elle me le rend bien .
Par contre , j'ai toujours rencontré des difficultés à compter mentalement ...
J'ai donc cherché des " trucs " pour compter vite , bien et avec un minimum d'efforts .
Avec le temps ( et des tonnes de papier ) , j'ai fini par obtenir quelques résultats .
Des procédés de calcul dont la plupart sont hyper-connus et des découvertes plus originales concernant surtout les nombres premiers .
Plutôt que de laisser moisir mes " trouvailles " dans un tiroir , j'ai pensé qu'il serait plus utile de les diffuser , même si les portes que je crois ouvrir sont ouvertes depuis longtemps !
J'espère être de quelque utilité .
Bonne lecture
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Par contre , j'ai toujours rencontré des difficultés à compter mentalement ...
J'ai donc cherché des " trucs " pour compter vite , bien et avec un minimum d'efforts .
Avec le temps ( et des tonnes de papier ) , j'ai fini par obtenir quelques résultats .
Des procédés de calcul dont la plupart sont hyper-connus et des découvertes plus originales concernant surtout les nombres premiers .
Plutôt que de laisser moisir mes " trouvailles " dans un tiroir , j'ai pensé qu'il serait plus utile de les diffuser , même si les portes que je crois ouvrir sont ouvertes depuis longtemps !
J'espère être de quelque utilité .
Bonne lecture
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